解析入門Ⅰ（その２３） - 多様体と幾何学

　現在２０２４年１０月２７日１５時２９分である。（この投稿は、ほぼ４２６９文字）

麻友「第Ⅰ章の ${\S 1}$ の、 ${[2]}$ 順序から。テキストの２ページ目が、終わり、３ページ目へ、

太郎さんは、大学３回生のお誕生日から、『数学基礎概説』を、ノート取りながら、読み始める。でも、本当は、実数の存在や、 ${\pi}$ の定義などを、振り返ることを、やりたかった。４回生の天体核物理学のゼミで、ランダウ=リフシッツの『場の古典論』を、読みながら、もっと易しいことを、チェックしたくて、『解析入門Ⅰ』を、ノートを取りながら、読み始める。頭は、高度なことを考えられるほど、高速回転しているのに、自分の数学を使う論理が、正しいという証明が出来ず、自信を失っていく。これは、演習不足だったことも、原因のひとつなのだろうけど、太郎さんが、自分にできないことなんて、ない。と、自信過剰であったことも、原因だろうと、思う。とにかく、全部自分で、解決できる。と、信じ切っていた。半年くらいでは、解決できないほどの、沢山のことを、抱えて、４回生の１９９４年７月１９日から、『解析入門Ⅰ』を、読み始めたのだ。とにかく、自信を失っているので、テキスト本文を、全文写ししながら、読んでいる。ノートは、扉、まえがき、読者への注意、目次、附録１、附録２、と、７月２５日までで、読み、第１章に入る。そして、８月１日に始めた記述があるが、終わりのマークはない。恐らく、８月１日に気が狂ったものと、思われる」

若菜「結局、７月１９日から、８月１日までで、１４日間。ノートで、４４ページ弱。自信を失って、自殺しちゃうのを止めるには、気を狂わせるしか、なかったんでしょうかね」

結弦「石田さんに失恋したのは、１９９３年９月。１９９４年８月の発狂の理由にするのは、ちょっと、無理があるなあ。新聞配達という苛酷な仕事に就いていたのが理由だったという方が、有り得るんだろうけどな」

麻友「太郎さんのお父様やお母様は、気が狂った理由を、女の子をいつまでも追いかけていたからだと、思って、『それが、理由だよ』と、信じ込ませようと、ことあるごとに、言ってきたけど、太郎さんの女の人を見る目は、普通の男の人と同じ。気違いではないし、ストーカーでもない。世の中に、太郎さんのような男の人が大勢いるから、女の人も、お金を稼げる。例えば、心理学者として名高い、フロイトなんて、女の人を見る目は、太郎さんより遥かに異常だと思う。ただ、太郎さん、相手の女の人が、自分を好いてくれていないというのに、気付くのが、ちょっと鈍いわね。以前は、好きだったけど、好きでなくなったというのに、気付くのが、鈍いのよ。女の人は、言い寄られれば、最初はちょっとなびく、でも、好きになれないと気付いたら、離れようとする。そうなっても、まだ好かれていると信じていては、世の中、渡って行けない。アイドルとして男の人を見てきて、それだけは言ってあげる必要が、あると思った」

結弦「数学やらないの？」

私「この部分だけ、メインブログに移しておこうか？」

麻友「いいわよ。太郎さんらしくて良いんじゃない」

若菜「お父さん。数学やってると、少しは冷静になれるんですね」

私「そう見えたか？」

麻友「太郎さんに、いつも言ってやりたかったこと、言っちゃった」

私「麻友さん、花嫁修業やってたんだな」

若菜「どこから、その発言が？」

私「ドラえもんのブログに送った方の、この投稿に、サムネイルを付けるために、Best Regards! の初回生産限定盤A のリンクを張ったんだけど、その特典DVDに、麻友さんの花嫁修業の映像があるって、書いてあった」

結弦「いつものお父さんの、卒業の頃は、お金がなかったというので、知らなかったの？」

私「うん。本当に、知らなかったんだ。AKB48 からの卒業の頃は、卒業コンサートにも、行かれなかったし、卒業関連のDVDも、買えなかった。おまけに、２０１８年には、２度も入院している。新しくファンクラブができて、それに、ギリギリ入会して、ミュージカル『アメリ』を２回観に行って、秋にミュージカル『シティ・オブ・エンジェルズ』を、観に行った後、入院している」

麻友「あの頃、太郎さん、ガラケーだったのよね」

私「２０１９年の３月２６日に、スマホを買ってもらったけど、余りもたなかったな」

麻友「ねえ、太郎さん。太郎さんに取って、『解析入門Ⅰ』に、書いてあることくらい、解説いらないのかも知れない。でも、映画『グッド・ウィル・ハンティング』のなかで、ウィルが、『こんなもの、どうでも良いんだ』と、紙切れにライターで火を付けたら、数学者の方が、『これは、私には、書けないんだ』と、慌てて消すじゃない。ここを読んでいるのは、そういう人なのよ。書いてよ」

私「それは、確かだな。京都にいるときの私のノートは、自信を持って、書いている。だが、気が狂って帰ってきて、薬で、高校一年生くらいになってしまった。１９９６年に、改めてノートの残りに書き始めるが、杉浦さんの論理が飛んでいるところは、埋められず、ノートが空白のまま、残されている。その後、『現代論理学』、『数学基礎概説』を、読んで、２００６年に読み始めたときのノートでは、空白はなくなっている。書くべきことが、出来たんだ」

若菜「それを、書いて下さい」

結弦「どれくらい、違うんだろ」

私「

${[2]}$ 順序

　任意の ${a,b \in \mathbb{R}}$ に対し，「 ${a}$ は ${b}$ より小であるか等しい」という関係 ${a \leqq b}$ が成立するか成立しないかが決まっており、この関係は任意の ${a,b,c \in \mathbb{R}}$ に対し次の (R 11)-(R 16) をみたす．

(R 11) ${a \leqq a.}$ （反射律）

(R 12) ${a \leqq b,b \leqq a}$ ならば ${a=b.}$ （反対称律）

(R 13) ${a \leqq b,b \leqq c}$ ならば ${a \leqq c.}$ （推移律）

(R 14) ${a \leqq b}$ または ${b \leqq a}$ の少なくとも一方が成立つ．（全順序性）

(R 15) ${a \leqq b}$ ならば ${a+c \leqq b+c.}$

(R 16) ${a \geqq 0,b \geqq 0}$ ならば ${ab \geqq 0.}$

${a \leqq b}$ を ${b \geqq a}$ とも記す．また「 ${a \leqq b}$ かつ ${a \neq b}$ 」という関係を ${a < b}$ と記す． ${a > 0,a < 0}$ に応じて ${a}$ を正または負という．この時次の同値が成立つ．

${(1.0)~~~~~~~~~~~~~}$ ${a \leqq b \Leftrightarrow a < b}$ または ${a=b}$

　　　　　　　（ ${\Leftrightarrow}$ は同値を表わす記号である．）

${(1.0)~~~~~~~~~~~~~}$ ${a \leqq b \Leftrightarrow a < b}$ または ${a=b}$

証明

i) ${ \Rightarrow )}$

${a < b}$ は ${a \neq b}$ を含んでいるのだった。今、 ${a \leqq b}$ が、成立しているとする．このとき、 ${a=b}$ ならば問題ないし、 ${a \neq b}$ ならば ${a < b}$ が成立し、いずれにせよ、 ${\Rightarrow}$ が成立する．