多様体と幾何学

松本『多様体の基礎』から始めて、松島『多様体入門』、志賀『多様体論』まで、制覇します。

集合論的位相幾何学(その2)

 現在2021年6月21日19時48分である。(この投稿は、ほぼ2368文字)

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麻友「この本、何度も、読み始めている。かなり、読みたくてたまらなかった、本なのね」

私「そう。薄い本だから、すぐ読み切れるかと思って、読み始めるのだが、挫折してきた。今回は、絶対読み切ってやる」

若菜「丁寧に、読めば、160ページなら、半年かからず、読めるでしょう」

私「それでは、始めよう」



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  第1章

 距離空間

§1.距離空間の定義

 定義 集合 {M} の任意の2つの元素(異なっていても等しくてもよい)に対して1つの実数 {\rho (x,y)} が対応し,その対応がつぎの条件を満足するとき,集合 {M}距離空間 {M} を作るという.(簡単のために集合と空間の記号を区別しないことが多い.)集合 {M} には距離が導入されたといい,{\rho (x,y)} を距離関数または単に距離と云う.

 (ⅰ){x=y} なるとき,しかもこのときに限って

            {\rho (x,y)=0}

 (ⅱ) {\rho (x,y)+ \rho (x,z) \geqq \rho (y,z)} (三角形の法則)


 条件(ⅱ)において {x=z} と置けば

    {\rho (x,y)+ \rho (x,x) \geqq \rho (y,x)}   (1)

 (ⅰ)から {\rho (x,x)=0} であるから

    {\rho (x,y) \geqq \rho (y,x)}        (2)

 ここで {x}{y} を交換すれば

    {\rho (y,x) \geqq \rho (x,y)}        (3)

 (2),(3)から

    {\rho (x,y) = \rho (y,x)}          (4)

 すなわち距離は元素 {x,y} の順序には無関係である.距離空間の条件として,(ⅰ),(ⅱ)の代りにつぎの条件を採用することがある.


 (ⅰ’){x=y} なるとき,しかもこのときに限り

            {\rho (x,y)=0}

 (ⅱ’) {\rho (x,y)= \rho (y,x)}


 (ⅲ’) {\rho (x,y)+ \rho (y,z) \geqq \rho (x,z)}


 (ⅱ’)を用いて(ⅲ’)を書直せば

   {\rho (x,y)+ \rho (y,z) = \rho (y,x) +\rho (y,z) \geqq \rho (x,z)}

{y}{x} を交換すれば(ⅱ)を得る.逆に(ⅰ),(ⅱ)より(ⅱ’)を得ることから、(ⅱ)を用いて

   {\rho (x,y)+ \rho (x,z) = \rho (y,x) +\rho (x,z) \geqq \rho (y,z)}

すなわち(ⅲ’)を得る.



 研究者注

(ⅱ)より、

{\rho (x,y)+ \rho (x,z) \geqq \rho (y,z)}

一方、(ⅰ),(ⅱ)から、(4)が、得られているので、

{\rho (x,y)= \rho (y,x)}

が、成り立ち、これより、

{\rho (y,x)+ \rho (x,z) = \rho (x,y)+ \rho (x,z) \geqq \rho (y,z)}

である。

 ここで、{x}{y} を交換すれば、

{\rho (x,y)+ \rho (y,z) \geqq \rho (x,z)}

と、(ⅲ’)が得られた。というのが、丁寧な説明。

 注終わり


 要するに条件(ⅰ),(ⅱ)と、(ⅰ’),(ⅱ’),(ⅲ’)とは等値であり,距離空間の条件として,そのいずれを採用してもさしつかえない.

 集合 {M} に距離が導入されたとき,集合 {M} の元素を距離空間 {M} の点と云う.


 注意

 いかなる集合 {M} にも距離を導入することができる.{x=y} なるとき,{\rho (x,y)=0,} {x \neq y} なるとき { \rho (x,y)=1} とすればよい.したがってまた1つの集合 {M} には無数に多くの距離の導入の仕方がある.距離空間の相等,不等に関しては後に考察する.



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        (『集合論位相幾何学』(p.p.1-2より)


麻友「太郎さん。こんな真面目な記事、書けるんだ」

私「どういう意味よ」

若菜「これが、まともな数学の本ですね。分からないところも、ありますが、取り敢えず一区切りまで、行きましょう」

結弦「今日は、ここまで?」

私「かなり、疲れた。ここまでにしよう。解散」

 現在2021年6月21日21時43分である。おしまい。

集合論的位相幾何学

 現在2021年6月20日21時59分である。(この投稿は、ほぼ1179文字)

麻友「このブログでは、『多様体の基礎』を読んで行くのでは、なかったの?」

私「そのつもりだったんだけどね、『多様体の基礎』の中で、誰もが疑問に思うことに、答える本を、1冊読んでみようという気になったんだ」

若菜「難しいんですか?」

私「大学の数学科の3年生くらいになっていないと、この証明には、付いてこられないと思う」

結弦「じゃあ、僕達を、巻き込まなくともいいんじゃない?」

私「大学の数学というのは、あるレヴェルまで学ぶと、一通りどの分野の数学も、学べる力が付く。そのレヴェルというのを、麻友さん達に、ちょっと味わって欲しい。それで、この連載を始めた」

麻友「どんな本なの?」

私「以下の本だ。

古関健一『集合論位相幾何学』(槇書店(まきしょてん))

絶版になっている」

麻友「もっと良い本ないの?」

私「私の知る限り、こんなに薄くて(160ページ)、次元論を論じている本は、珍しい」

若菜「じゃあ、始めましょう。まえがき、から?」


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   まえがき

 集合論位相幾何学はそれ自身極めて興味ある数学の一分野であるのみならず,解析学に於いて陰に陽に屢々(しばしば)応用されて居る.従ってこの分野の研究論文は極めて多い.本書に於いては極めて多い論文のうち最も基本的と思われるものについて記述した.本書を書くに当たっては多くの定理を統一的見地から見るように心掛けた.従って定理によっては原論文の面影を全く止めないものもある。

 茨城大学教授北村泰一氏は本書を数学選書の一つに加えられ,又茨城大学教授岡本茂氏は原稿を精読され,著者に有益なる数々の助言を寄せられた.ここに深甚なる(しんじんなる)感謝の意を表明する次第である.校正については槇書店の佐藤恒雄氏の御世話になった.併せてお御礼を申し上げる.

 1974年
                         著者


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麻友「この本で、最終的に、何が分かったら、めっけものなの?」

私「一般に、トポロジーと言われているものが、本当は、どういうものか? ということ。それから、領域不変性定理というものの、証明。もうひとつ、ジョルダンの曲線定理というもの、証明。どれも、レヴェルの高い話だ」

結弦「差し当たって、今日は、22時51分になってるから、終わりにしようよ」

私「そうだな。おやすみ」

若菜・結弦「おやすみなさーい」

麻友「おやすみ」

 現在2021年6月20日22時54分である。おしまい。

多様体の基礎(その2)

 現在2021年4月6日19時56分である。

麻友「あら、こんなブログもあったわね」

私「はてなブログの、URLの命名権争いで,manifolds(多様体)というのが、選べたので、ブログ作っておいたんだ」

若菜「命名権争いということは、少しは、お金を払ったのですか?」

結弦「お父さんが、払うわけないよ。徹底的に、他の人が考えなさそうな名前を、どんどん入れていったんでしょう」

私「そうだ。そういうわけで、『多様体幾何学(たようたいときかがく)』というブログ名にした」

麻友「松本『多様体の基礎』から始めて、松島『多様体入門』、志賀『多様体論』まで、制覇します。というのは?」

私「ただ、多様体を学ぶといっても、やっぱり本を読むことになる。差し当たって、私のお気に入り、

松本幸夫(まつもと ゆきお)『多様体の基礎』(東京大学出版会

基礎数学5多様体の基礎

基礎数学5多様体の基礎

を、読んでいこうと思っている」

麻友「思い出した。太郎さんが、相対論のブログの、『一般相対論の勉強法』という投稿で、


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 私は、一般相対性理論を学ぶ、日本の学生全員に言いたい、

東京大学出版会から出ている、松本幸夫著『多様体の基礎』という本を丁寧に読みなさい。」

と。

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     (『相対性理論を学びたい人のために』というブログの『一般相対論の勉強法』という投稿より)


と、書いていた本だ。そうすると、太郎さんが、この本のガイドブックを、作ろうというの?」

私「『数Ⅲ方式ガロアの理論』ほど、読みにくい本ではないから、ガイドブックというほど、凄いものを作る気はない。ただ、私があの投稿をしたら、とにかく『多様体の基礎』だけ読めば良いのだろうと、いきなり取りかかってしまう人もいるみたいで、私が、


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 行列式の定義と連鎖律くらいが分かったら、もう、「多様体の基礎」に取りかかるべきだ。

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と言っている意味が、分からなかったようだ」

麻友「そうすると、どれくらい勉強しておかなければ、ならないの?」

私「麻友さんは、そのままでいい。文系で高校を普通に卒業した人と、一緒に読むつもりで、手取り足取り解説する。数学基礎論や、ロジックでは、記号だらけになってしまって、数学が嫌いになりかけているかも知れないが、この本を読めば、華麗な数学もあるんだと分かるよ」


若菜「お父さんは、大学の何回生で、この本を、買っているの?」

私「いつもの刻印は、1992年5月15日 京都大学中央書籍と、なっている。2回生の春だ」

結弦「2回生の春ということは、数学の危機を、回避できていないじゃない」

私「そうだ。いつもの、『数学基礎概説』は、1992年6月4日 中央書籍だ。数学の基礎を、立て直しつつ、レヴェルアップも図っていた」


麻友「さっきの、松島『多様体入門』、志賀『多様体論』、というのも、それぞれ本なのね?」

私「そう。

松島与三(まつしま よぞう)『多様体入門』(裳華房

多様体入門(新装版) (数学選書)

多様体入門(新装版) (数学選書)


志賀浩二(しが こうじ)『多様体論』(岩波書店

多様体論 (岩波基礎数学選書)

多様体論 (岩波基礎数学選書)


の2冊だ。だけど、後ろの2冊は、場合によっては、変えるかも知れない。どちらも、古い本で、手に入りにくくなるかも知れないからね」

若菜「最初の本は、この本で、良いのですか?」

私「この本は、1988年の本で、決して古くない。松島さんの本は、1965年の本、志賀さんの本は、1976年の本だ。ここに選ぶに足る立派な本だが、手に入らないのでは、困る」

結弦「この『多様体の基礎』は、お父さん、お気に入りだけど、どういうところが、いいの?」

私「まず、多様体というものを、全く知らない人でも、読める」

結弦「どうしてそんなことが、言えるの?」

私「私自身が、この本で、初めて、多様体というものに、接した。『解析入門Ⅱ』で、{\mathbb{R}^n} 内の多様体というものを、知っていたが、これは、『宇宙から出られていない状態』なのだ。本来、多様体は、『宇宙の外に出られる看護婦さん』じゃないけど、考えているものの世界から外に出て、達観してそのものを見るというものなのだ。それを、私は、この本で、学んだ」

若菜「良いところは、それだけ?」

私「数学の本は、最初の20ページが、読みにくいことが、多いのだが、この本の最初の20ページは、非常に心を込めて書いてある。それから、非常に重要なことなのだが、後で話すけど、多様体の接ベクトル空間という非常に重要なものを、他の本では、{T_p(M)} というものを、定義して、それが、座標によらずに定義できたことを、得意がる。でも、これは、初学者には、消化不良を起こしやすい。この本では、まず、方向微分すべての集合 {D_p(M)} を、考えて、それを経由した上で、接ベクトル空間 {T_p(M)} を導入している。少なくとも私には、有り難かった」

麻友「他には?」

私「第6章 微分形式 では、章の冒頭に、

『曲線と曲面の微分幾何』(裳華房,p.77)の中で小林昭七先生が書いておられるように,微分形式は重積分の計算から発生した極めて数学的な概念である.ベクトル場のときのような直観的な‘絵’が、微分形式については描きにくい.多分,微分形式は,単刀直入に定義を述べるのがよいと思われる。そして,計算しているうちに,ある種の直観が形成されてくる性質のものではないかと思う.

とあり、『この章のことは、最初は、気持ち悪く感じられるけど、計算しているうちに分かるよ』と、究極のアドヴァイスをしてくれている」
  
結弦「本当に、お父さん、この本好きなんだね」


私「昨晩は、ここまでで、眠くなってしまい、0時35分頃眠った。今日、改めて始める」




 現在2021年4月25日9時57分である。

私「こういう投稿も、書きかけていたんだ。どうも、論理学とか、集合論とか、抽象的すぎる話ばかりで、麻友さんが辟易しているのではないかと、思ったからね」

麻友「『宇宙の外に出られる看護婦さん』か。相対論のブログの記事だったわね。楽しみではあるわね」

若菜「でも、なんで、投稿しなかったのですか? 4月7日に」

私「4月8日にドラえもんのブログに、『フーリエの冒険(その3)』を、書いたように、麻友さんの数学のレヴェルは、私のこのブログの説明のレヴェルにすら、達していない可能性があると、気付いたんだよ」

結弦「それは、当然だよ。僕が、中学3年生だと言ってるのに、{\mathbb{R}^n} (アールエヌ)とか、とんでもないこと、言うんだもん」

私「ごめん。象牙の塔になっちゃって」

麻友「そうすると、このブログは、ほんのちょっとずつ、進めようとか、考えているの?」

私「『フーリエの冒険』で、微分とか積分に、もっと慣れてからね」

麻友「書かないのは、それだけじゃないでしょ」

私「やっぱり、分かってるな。核融合発電所は、危なくないという投稿を、もうちょっと、書こうと思っているんだ」

若菜「前に向かっているお父さん、格好いい」

結弦「後ろ向きになるのは、お父さんは、まだ早いよ」

私「ありがとう。じゃあ、終了」

若菜・結弦「バイバイ」

麻友「バイバイ」

私「バイバイ」

 現在2021年4月25日12時16分である。