現在２０２３年５月７日９時３５分である。（この投稿は、ほぼ３６５２文字）
麻友「こちらの本は、使わないの？」
私「もう少しで使う。まず、昨日のスキャン原稿で、
の、最後のところを、見て欲しい」
若菜「
‘逆元の逆元は、もとの元’は、
定理１．１
を、
の任意の元とするとき、
の任意の元
に対して、
が、成立する。
ですね。あれっ？」
結弦「これ、定理になってない。なんか、足りないよ」
私「そう。 でなくて、
なんだ」
若菜「あー、なるほど」
麻友「それで、逆元って、何なの？」
私「結弦が、以前良いこと言った。実数の掛け算では、逆元は、逆数のことだ」
結弦「つまり、
という、当たり前のこと？」
私「そうなんだ。ただ、この場合、左辺は、 （はちインバース）、右辺は、
（はちぶんのいち）と、読む」
若菜「そうすると、定理１．１は、逆数の逆数は、元の数。つまり、
だと言ってるのね」
私「普通、群論の教科書では、このくらいのことは、あっという間に、通り過ぎる。でも、これの証明を、読んでいると、不思議な気分になる。次のスキャン原稿」
私「
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
証明
※
が成立する。したがって が成立する。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
（古い数学基礎概説のノート p.6 より）
は、どうだ？」
若菜「公理の式、 だけでなく、
も、使うんですね」
私「その点が、重要だ。さらに、次のスキャン原稿
左ページの下
？ここまでくると、‘同一’ということの意味が分からなくなるが…
ただ ＝ で結べるかどうかということになってしまう。
と、１９９３年の私が、疑問を呈している」
麻友「あっ、太郎さんも、同じ疑問を、持ったんだ。２つのものが、一方を、イコールなままで、変形していって、もう一方に、イコールで結べたら、同一のものだと、証明したことになるの？」
私「ならない」
若菜「ならないんですか？」
私「『超実数そして実数』で、まだフィルターを、作れてないけど、真理のカメさんが、
と、
で、
数字が同じところが、 と、無限個あって、補集合が、
と、有限集合だから、
その同じところの集合を、カメさんが、『持ってるよ』というのだった。そして、この場合、真理のカメさんの見方で、等しいということになる。こういうのを、数学では、『同値類で割る』と、言うのだが、本当に同一のものでなくとも、等号で結ばれる。もう、『両辺が絵として等しい』も使えない」
麻友「ああ、『絵として等しい』だったわね。最初は」
私「１階の理論で、集合論を展開する場合、 は、
によって定義される。ここまでしか、私は知らない。２階算術も、知りたいが、他にも知りたいことが、沢山有る」
結弦「結局、その場その場で、＝ の意味を、定義して使うんだね」
私「まったくもって、その通りだ。優秀！」
麻友「太郎さんが、わざわざ、群論に、『数学基礎概説』を、持ち出したのは、そのためだったの？」
私「そう。証明して行くとき、等号で、結んでいくけど、本当に、等しいのか、疑問に思う。『数学基礎概説』には、等号をどう使うか、書いてあるので、引用した」
結弦「結局、どうまとめられたの？」
私「『ただし、等式は＝の左辺および右辺の式の表す の元が同一であることを意味する』という（その８）のときの群の定義での決まりが守られるように、
公理
の任意の元
に対し、
推論
の任意の２元
について、すでに得られているかまたは仮定されている
から
を導く。
この推論形式を、
と書く。
推論
の任意の３元
に対し、
推論
の任意の４元
に対し、
推論
の任意の２元
に対し、
この１つの公理と４つの推論規則を加えれば、一応証明が、行える。古いノート９ページの演繹を、見てくれ」
若菜「うーん。お父さん、公理 と、公理
の順番入れ換えた？ それから、公理
と、公理
も」
私「良く気付いたな。単位元と逆元の説明するとき、右単位元と右逆元の存在だけ仮定すれば、群論は、築けるんだ。左に揃えても良いけど、私は、右利きだ。それで、 と、
を、削るよ。と、言う方が簡単なので、順番を入れ換えたんだ」
若菜「油断も隙もない」
麻友「教科書を書き換えてくるとはね」
若菜「もう一度、全文写しした本文を、ここまで見せて下さい。チェックしたいです」
私「今日は、朝９時からやってる。疲れたから、ここまでとする。解散」
現在２０２３年５月７日１７時５２分である。おしまい。
