解析入門Ⅰ（その８） - 多様体と幾何学

　現在２０２３年５月１日１０時５９分である。（この投稿は、ほぼ６２０４文字）

麻友「午前中から始めるのは、珍しいわね」

若菜「もう成果を挙げているのですよね」

結弦「成果って？」

私「以前、『力学』のブログで、☞ ✍ という記号を、コピペで、入力したと、自慢したが、如何せん、記号が小さかった。それを、今日、文字拡大を行ったら、こういう風に、大きく出来たんだ。☞ と、✍ だよ」

麻友「時間が解決してくれた。大江さんの括弧ね」

私「さて、麻友さんと知り合って、８年。いつか、群について話す日が来るだろうと思っていた。『解析入門Ⅰ』の説明は、簡単だが、免疫のない麻友さんには、分からないだろう」

麻友「群論の本格的な講義をするの？」

私「そんなつもりはない。だが、疑問が残らないように、親切に説明する」

若菜「他の本を、参照する？」

私「

群論 (岩波全書 261)

作者:浅野啓三,永尾汎
岩波書店

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数学基礎概説 (共立数学講座)

作者:猛, 大芝
共立出版

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の、２冊を利用する」

麻友「『数学基礎概説』が、必要？」

私「普通の群論の本だと、漠然と残る、疑問がある。それに、『数学基礎概説』が、応えてくれる」

結弦「じゃあ、始めて」

私「まず、群というものを、定義する。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

　一般にある対象の集まり ${G}$ に対し，その個々の対象を ${G}$ の元または要素とよぶが，このとき ${G}$ に関する群の概念は普通次のように定義される．

（１） ${G}$ の任意の２元 ${a,b}$ に対し、 ${a \circ b}$ で表される ${G}$ の元( ${a,b}$ の積とよぶ)を一意に対応させる演算 ${\circ}$ があり，

（２） ${G}$ に単位元とよぶ特定の元 ${e}$ があり，

（３） ${G}$ の任意の元 ${a}$ に対し ${a^{-1}}$ で表される ${G}$ の元( ${a}$ の逆元とよぶ)を一意に対応させる演算 ${{}^{-1}}$ があり，これらに関して次の性質(公理とよぶ）が成立するとき， ${G}$ は、 ${\circ}$ を乗算， ${{}^{-1}}$ を逆元演算， ${e}$ を単位元とする群をなすという．

　公理　 ${\mathrm{G1}}$ 　　 ${G}$ の任意の３元， ${a,b,c}$ に対し， ${(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)}$ （結合法則）

　公理　 ${\mathrm{G2.1}}$ 　 ${G}$ の任意の元 ${a}$ に対し， ${a \circ e =a}$ 　　（右単位元の存在）

　公理　 ${\mathrm{G2.2}}$ 　 ${G}$ の任意の元 ${a}$ に対し， ${e \circ a =a}$ 　　（左単位元の存在）

　公理　 ${\mathrm{G3.1}}$ 　 ${G}$ の任意の元 ${a}$ に対し， ${a \circ (a^{-1}) =e}$ 　　（右逆元の存在）

　公理　 ${\mathrm{G3.2}}$ 　 ${G}$ の任意の元 ${a}$ に対し， ${(a^{-1}) \circ a=e}$ 　　（左逆元の存在）

　ただし，等式は ${=}$ の左辺と右辺の式の表す ${G}$ の元が同一であることを意味する．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　定義終わり

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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（『数学基礎概説』p.1 より一部改変）

説明の都合上、逆元より先に、単位元を、持って来た」

麻友「今まで、8年間。太郎さんには、ビックリさせられ続けてきた。これも、その１つなんだろうけど、こんなの、全然分からないわよ」

結弦「取っ掛かりは、逆元かな？　逆数のことかも」

若菜「右とか、左とか、どういうことなんでしょうね」

麻友「そもそも、演算って何よ？　 ${a \circ b}$ って、なんて読むの？」

私「それね、分からないんだ。私は、『エイまるビー』って、読んでたけど、困らなかった」

若菜「 ${g \circ f}$ は？」

私「写像の場合は、『じーコンポジッションえふ』と、読むんだけどね」

麻友「 ${a^{-1}}$ は？」

私「それは、『えいインバース』」

結弦「そもそも、群って、どんな形、してるの？」

私「群というのは、色々なものの、特別な性質だけを、抽出したものなんだ。具体的には、例えば、実数全体に、掛け算という演算を与えたもの。ただし、 ${0}$ では割れないから、 ${\mathbb{R}-\{0\}}$ と、 ${0}$ を、どける」

麻友「 ${\mathbb{R}-\{0\}}$ で、例えば、 ${3,5,7 \in \mathbb{R}-\{0\}}$ よね。それで、 ${3 \circ 5 ＝ 3 \times 5 =15}$ で、 ${15 \circ 7 =15 \times 7 =105}$ となる。一方、 ${5 \circ 7 =5 \times 7 = 35}$ で、 ${3 \circ 35 ＝ 3 \times 35 =105}$ だから、 ${(3 \circ 5) \circ 7 =105=3 \circ ( 5 \circ 7 )}$ となって、結合法則、 ${(3 \circ 5) \circ 7 =3 \circ ( 5 \circ 7 )}$ が、成り立ってる。こういうこと？」

私「そう。そういうこと」

結弦「この場合、掛け算が、演算なんだ」

若菜「中学のときとかに、『結合法則が、成り立ちますよ』って、教わって、何に使うのか、分からなかったけど、実数の掛け算が、群になるということを、いつか気付かせるためだったんですね」

結弦「交換法則っていうのも、あった」

私「今、３人は、交換法則が、成り立たないものを、知るチャンスに、遭遇している。まず、実数は、掛け算に関して、交換法則が、成り立っていることは、良いだろうか？」

結弦「例えば、 ${4 \times 8 =32}$ と、 ${8 \times 4 =32}$ だ。大丈夫そうだよ」

私「高校で、習う範囲だから、麻友さんも、行列というものを、知っているかも知れない。一次変換（いちじへんかん）とも言う」

麻友「一次変換って、数学史を取ったら、最後から２番目の２０世紀の数学で、出てきた。割り合い新しいものなのよね。ハイゼンベルグが、行列力学を作ったというのも、習った」

私「その通り。知っててくれると良いんだけどね。まず、丁寧に話すと、『１から始める数学（～その１５）』で、 ${0}$ を作るとき、座標を使ったよね」

若菜「そうでしたね。 ${(12,3)}$ とか」

私「そう。それは、 ${2}$ 次元の座標だった」

結弦「一次変換では、座標を、縦に書くよ。 ${\displaystyle\left( \begin{array}{c} 12 \\ 3 \end{array} \right)}$ みたいに」

私「分かっているようだな。ところで、一次変換って、何を、変換するんだ？」

若菜「座標平面かしら？」

私「その場合もあるな。その場合、座標平面をどうするんだ？」

若菜「回転するとか」

私「おお、模範解答。優秀な大学に行かれるだけある」

麻友「座標を、回転するって？」

私「さっきの ${\displaystyle\left( \begin{array}{c} 12 \\ 3 \end{array} \right)}$ を乗せた平面を、原点を中心に、例えば、 ${30}$ 度、時計回りに、回転するとか」

若菜「その場合、気を付けなければならないのは、ベクトルを、回転させるのか、座標系を回転させるのか、ですね」

結弦「ベクトルを回転させるのなら、

${\displaystyle \left( \begin{array}{cc} \displaystyle \cos{\displaystyle \frac{\pi}{6}} & - \sin{\displaystyle \frac{\pi}{6}}\\ \sin{\displaystyle \frac{\pi}{6}} & \cos{\displaystyle \frac{\pi}{6}} \end{array} \right) }$

だけど、座標系を回転させるのなら、

${\displaystyle \left( \begin{array}{cc} \displaystyle \cos{\displaystyle \frac{\pi}{6}} & \sin{\displaystyle \frac{\pi}{6}}\\ {}- \sin{\displaystyle \frac{\pi}{6}} & \cos{\displaystyle \frac{\pi}{6}} \end{array} \right) }$