現在２０２３年１０月８日１３時５７分である。（この投稿は、ほぼ１９６５文字）
大学２回生のとき、『多様体の基礎』を、読んでいて、多様体の次元というものは、定まるのだろうか？ と、疑問に思った。そこで、そのことを、ある雑誌に、問題として、出題してみた。
そうしたら、定まるということを、証明してくれた人がいた。知る人ぞ知る池田和正さんである。実は、後に放送大学の面接授業で、先生として現れた池田さんにお会いして、このときのお礼を、言うことが出来たのであるが…。
ところで、池田和正さんの証明には、アレキサンダーの双対定理というものが、使われていた。
という、辞書のような本に、証明が載せられていて、とても当時の私には、読めなかった。なんとかならないかなあ？ と思っていて、３回生の冬休み、（当時横浜に移っていた）実家に帰省した折、八重洲ブックセンターで、
という１６０ページの薄い本で、アレキサンダーの双対定理の結果である、領域不変性定理というものの証明があった。１も、２もなく、１９９４年１月６日購入した。
開いてみると、距離空間の定義があり、距離空間の例が、５つ挙げられている。
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距離空間の例
１．ユークリッド空間
２．ヒルベルト空間
３．フレッシェの例
４． で定義された連続実関数全体の集合を
とするとき、
に属する元素
はすべての
の値に対して、
なるとき等しいと定める。
の２元素
に、
（ここに、注がある）
を対応させれば、 は距離空間となる。また、
を対応させても距離空間となる。
注．
は
における
の最大値を表わす。これが存在することは、微分学においてよく知られている。
５． で定義された有界な関数全体の集合を
とし、
上限
とするとき、 は距離空間を作る。
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（古関健一『集合論的位相幾何学』（槇書店（まきしょてん））p.p.2-3より。ユークリッド空間、ヒルベルト空間、フレッシェの例は、この後詳述するので、定義を省略した）
私「麻友さん。とんでもない話が、始まったと、ビックリしているだろう」
麻友「（その３）って言うことは、前に、（その１）や、（その２）を、やってるのね」
私「一応、リンクを張るよ。無理に読み直さなくても良いけどね」
若菜「お父さん。（その２）で、疲れ切って、沈没したのでしたね」
私「実は、沈没したのは、疲れたからではなく、この例を、ひとつずつ証明していて、フレッシェの例というものが、難しそうで、『これ、麻友さんに、説明出来るのかな？』みたいに思って、萎縮してしまった。というのが、本当の理由なんだ」
結弦「そのときは、証明、持ってなかったの？」
私「実は、証明、知らなかった」
麻友「こんなに、大っぴらに、始めた。と、言うことは、証明できたのね」
私「うん。ただ、今日は、もう２２時１２分になってしまったので、この続きは、次回以降とするね」
麻友「分かったわ。おやすみ」
若菜・結弦「おやすみなさーい」
私「おやすみ」
現在２０２３年１０月８日２２時１６分である。おしまい。
